الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،وتلعبدورًامهمًافيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.
ماهيالأعدادالمركبة؟
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزأين:جزءحقيقي(RealPart)وجزءتخيلي(ImaginaryPart).يُكتبالعددالمركبعادةًعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقي.
-bهوالجزءالتخيلي.
-iهيالوحدةالتخيلية،حيث(i^2=-1).
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالإحداثي(المستوىالمركب)،حيثيمثلالمحورالأفقيالجزءالحقيقيوالمحورالرأسيالجزءالتخيلي.علىسبيلالمثال،العدد(z=3+4i)يمكنتمثيلهكنقطةإحداثياتها(3,شرحدرسالأعدادالمركبة4).
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
[(2+3i)+(1-5i)=(2+1)+(3i-5i)=3-2i]
الضرب:
لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1).
مثال:
[(1+2i)\times(3-i)=1\times3+1\times(-i)+2i\times3+2i\times(-i)]
[=3-i+6i-2i^2=3+5i-2(-1)=3+5i+2=5+5i]القسمة:
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(Conjugate)لتبسيطالمقامإلىعددحقيقي.
مثال:
[\frac{ 1+2i}{ 3-i}=\frac{ (1+2i)(3+i)}{ (3-i)(3+i)}=\frac{ 3+i+6i+2i^2}{ 9-i^2}]
[=\frac{ 3+7i-2}{ 9+1}=\frac{ 1+7i}{ 10}=\frac{ 1}{ 10}+\frac{ 7}{ 10}i]
استخداماتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:
-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد.
-الفيزياء:دراسةالموجاتوالاهتزازات.
-معالجةالإشارات:تحليلالإشاراتالرقميةوالتناظرية.
الخلاصة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتوفرأدواتقويةلحلالمعادلاتالتيليسلهاحلولفيمجموعةالأعدادالحقيقية.بفهمأساسياتهاوتطبيقاتها،يمكناستخدامهابشكلفعالفيالعديدمنالمجالاتالعلميةوالتقنية.
إذاكنتتريدتعميقفهمك،يمكنكالتدربعلىحلتمارينمختلفةتتضمنالعملياتالحسابيةعلىالأعدادالمركبة.
